양자역학의 공리

양자역학의 주요 결론은 물체의 여러 상태가 확률적으로 중첩되어 있을 수도 있다는 것이다. 따라서 고전 물리학에서처럼 위치는 $x$, 속도는 $v$...와 같이 물리량을 하나의 정해진 값으로 표현할 수 없다는 문제가 발생하게 된다. 물리학자들은 확률적인 상태를 표기하기 위해서 위치, 운동량 등 모든 물리량의 확률 밀도 함수를 포함하고 있는 추상적인 대상인 양자 상태(quantum state)를 도입하였다. 이러한 양자 상태가 가지는 기본적인 성질이 바로 이 문서에서 다루게 될 내용이며, 이는 양자 이론을 전개하는 데에 필수적인 기반이 된다.

다만 오해하지 말아야 할 것은 아래 공리들이 역사적으로 맨 처음에 나온 건 아니라는 것이다. 예를 들어 케플러 법칙이 먼저 나온 후 이를 통해 뉴턴이 만유인력의 법칙을 정립하였지만, 고전역학에서 설명할 때는 대부분 만유인력의 법칙을 통해 케플러 법칙을 유도한다. 이 방법이 수학적으로 더욱 깔끔하기 때문이다. 마찬가지로 여기 나오는 양자역학의 공리들도 양자역학 이론을 가장 체계적이고 아름답게 정리하기 위해서 '선정된' 것일 뿐, 실제 역사를 따지자면 흑체 복사, 광전 효과 등(틀:양자역학의 '배경'에 있는 실험들)이 먼저 나온 것들이다.

나무위키의 다양한 양자역학 관련 문서를 살펴보다 보면 $\left| \psi \right>$라든가 $\left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right>$ 같은 표현을 자주 만나게 된다. 이 특별한 기호는 양자 상태를 나타내기 위해 폴 디랙이 고안한 표기법으로, 디랙 표기법(Dirac notation) 또는 브라-켓 표기법(bra-ket notation)이라고 한다. 이 표기법의 독특한 특징은 벡터를 $\vec{v}$도 $\mathbf{v}$도 아닌, $\left| v \right>$로 표기한다는 것이다. 양자 상태는 기본적으로 벡터이기 때문에, 양자역학에서 편리하게 사용할 수 있는 표기법을 만든 것이다. 벡터뿐만 아니라 벡터의 내적이나 연산자를 포함한 수식도 디랙 표기법으로 나타낼 수 있는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

여기서 벡터 $a$와 $b$의 내적을 홑화살괄호(bracket)를 써서 $\left< a | b \right>$로 나타내기 때문에 브라-켓 표기법이라는 이름이 붙은 것이다. "bracket"을 반으로 쪼개서 왼쪽 부분인 $\left< a \right|$를 브라(bra), 오른쪽 부분 $\left| b \right>$를 켓(ket)이라고 부른다. 가운데 c가 없어진 이유는 풀리지 않은 난제이다. c = |라 카더라

당연하지만, 디랙 표기법은 내적 공간의 벡터를 나타내는 표기법이기 때문에, 내적 및 벡터 공간 문서에 있는 모든 성질 및 정의들을 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어,

또 하나 주의할 것은, $\left| \quad \right>$ 안에 들어가는 것은 어디까지나 켓 벡터의 "이름"이라는 것이다. 그런데 양자역학에서는 $\left| M \psi \right>$ 라든가 $\left| a+b \right>$ 같은 표현이나, 특히 $\hat{A} \left| a \right> = a \left| a \right>$ 처럼 문자의 중복을 자주 허용한다. 여기서 $\left| a+b \right>$라는 것은 $a+b$가 실제로 계산되는 것이 아니라, $\overrightarrow{a+b}$처럼 벡터의 '이름'이 "$a+b$"인 것이다. 코딩에 비유하자면 켓 안에 있는 것은 문자열(str)형, 밖에 있는 것은 실수(float)형이다. 따라서 $\left| 1+1 \right> = \left| 3 \right>$라고 써도 수학적으로는 문제가 없는 것이다. [8]

이렇게 디랙 표기법을 만든 것은 결국 양자 상태라는 것을 수학적으로 나타내기 위함이다. 양자 상태는 어떤 대상의 물리적인 정보를 나타내는 추상적인 표현이다. '양자' 상태라고 불리는 것 때문에 아주 작은 미시 세계의 입자만 표현한다고 생각이 들 수도 있지만, 사실 양자 상태는 모든 대상을 표현할 수 있다. 예를 들어 하나의 전자도 양자 상태를 가지고, 물 분자도 양자 상태를 가지며, 심지어 고양이나 우주 전체도 하나의 양자 상태로 가진다고 말할 수 있다. 이렇게 양자 상태로 나타내고자 하는 대상을 계(system)라고 한다.

기본적으로 고전 물리학에서 입자나 계를 분석할 때, 그 대상을 기술하기 위해 필요한 것은 위치, 속도, 질량, 필요하다면 전하량 정도가 있었다. 이 중에서 양자 상태가 담고 있는 정보는 위치와 속도이다. (정확히는 위치와 운동량을 담고 있다.) 여기에 필요에 따라 스핀[9], 입자물리학에서는 색깔이나 맛깔(...)[10]과 같은 정보를 포함하기도 한다. 문제는 그 유명한 불확정성 원리에서 말하는 것처럼 위치와 운동량을 정확히 하나의 값으로 가지는 것은 불가능하다는 점이다. 따라서 양자 상태는 위치와 운동량의 확률 밀도 함수를 포함해야 한다. 그러면 어떻게 두 가지의 확률 밀도 함수를 하나의 상태에 담을 수 있을까? 예를 들어 위치의 확률 밀도 함수를 $X$, 운동량의 확률 밀도 함수를 $P$라고 하면 순서쌍 $(X,P)$는 두 함수를 모두 담고 있다. 아니면 $X+iP$처럼 두 함수를 복소수의 실수부와 허수부에 담는 방법도 있을 것이다. 하지만 이런 방법들은 그냥 $X$랑 $P$를 따로따로 취급하는 거랑 별 다른 의미가 없을 것이다.

물리학자들은 이러한 정보를 효과적으로 양자 상태에 저장하기 위해서 선형대수학의 언어를 빌렸다. 양자 상태를 힐베르트 공간의 원소인 벡터로 표현한 것이다. 바로 이것이 디랙 표기법에 등장하는 켓 벡터 $\left| \psi \right>$이다. 이렇게 벡터로 표기했을 때의 장점은 기저(basis)를 어떻게 설정하느냐에 따라 성분이 위치가 될 수도 있고 운동량이 될 수도 있다는 것이다. 특히 위치 기저에서는 벡터의 성분을 바로 파동함수라고 하며, 이것의 절댓값의 제곱이 위치 확률 밀도가 된다. ('절댓값'을 취하는 것에서 알 수 있듯이, 운동량에 관한 정보는 복소수의 편각 부분에 저장되어 있다.)

이렇게 켓 벡터로 양자 상태를 표현하는 방법가 딱 하나로 결정되지는 않는다. 사실, 임의의 복소수 $c \neq 0$에 대하여 $c \left| \psi \right>$는 같은 양자 상태를 의미한다. 예를 들어 어떤 입자의 양자 상태가 $\left| \psi \right>$라면 $(2-3i) \left| \psi \right>$도 같은 양자 상태가 되는 것이다. 다만 계산의 편의성 등을 고려했을 때 양자 상태는 그 크기가 1일 때가 가장 다루기 쉽다. 즉 $\left< \psi | \psi \right> = 1$이어야 한다. 이렇게 양자 상태의 크기(노름)을 1로 만드는 것을 규격화(normalization) 또는 정규화라고 한다. 물론, $\displaystyle e^{i \theta}$ 꼴의 복소수는 모두 크기가 1이기 때문에, 파동함수에 이런 형태의 복소수를 곱한 것이 물리적인 의미를 갖지는 않는다. 다만, $\displaystyle \left| \psi \right> + e^{i \theta} \left| \phi \right>$와 같이 두 양자상태의 선형결합에서는 상대적 위상이 의미가 있다.

쉽게 말하면 그냥 물리량이다. 양자역학에서 물리량은 에르미트 연산자로 나타낸다.

어떤 물리량(연산자)를 측정한다는 것은 양자 상태를 측정하려는 연산자의 고유상태(=고유켓=고유벡터) 중 하나로 사영(projection)하는 것이다. 특히 연산자 $\hat{A}$의 $n$번째 고유상태를 $\left| n \right>$이라고 하면, $\left| \psi \right>$를 측정했을 때 $\left| n \right>$이 측정될 확률은 $\| \left< n | \psi \right> \|^2$이다. 이 확률은 수학적으로 유도할 수 있는 것이 아니고, 코펜하겐 해석에 따른 공리 중 하나이다.

계 $A$의 양자 상태가 힐베르트 공간 $H_A$에 있는 켓 $\left| a \right>$이고, 계 $B$의 양자 상태가 $\left| b \right> \in H_B$이면, $A$와 $B$를 함께 나타내는 양자 상태는 두 상태의 텐서곱인 $\left| a \right> \otimes \left| b \right>$으로 나타내며, 간단하게 $\left| a \right> \left| b \right>$로 나타낼 수 있다. 이때 이 상태는 힐베르트 공간 $H_A \otimes H_B$의 원소이다.